Korngrößen- und Clustergrößenverteilungen

Die durchgeführten 3D Computer Simulationen zeigen ein identisches Verhalten der sich herausbildenden Korngrößen- bzw. Clustergrößenverteilungen für beliebige Keimbildungs- und Wachstumsraten, das vollständig mit Hilfe der Skalierungsgrößen and charakterisierbar ist ((Riedel und Karato(1996b)), Figs. 4-6):

• Mit zunehmenden Transformationsgrad x_3D entsteht im System eine Hierarchie großer Cluster (oberhalb der maximalen Korngröße im System), die in der Clustergrößenverteilungen sichtbar wird ((Riedel und Karato(1996b)), Fig. 6). Bei perkoliert die Produktphase durch die Ausgangsmatrix.
• Die Korngrößenverteilung GSD zeigt einen typisch rechtwinkligen Verlauf bei kleinen Umsätzen, während sie bei kompletter Transformation eine logarithmisch ansteigende Funktion bei kleinen Körnern ist. Dieses Verhalten steht im Kontrast zu der häufig in der Realität beobachteten log-normal Verteilung von Korngrößen und ist vermutlich das Ergebnis des Fehlens eines Kornreifeprozesses im Modell (``Ostwald ripening''), das ansonsten die im Überschuß auftretenden kleinen Körner abbauen würde würden.
• Die Abweichung der Gesamtzahl der Körner von der Gesamtzahl der Cluster ((Riedel und Karato(1996b)), Fig. 4) beginnt bereits bei einem Transformationsgrad von , d.h. bereits in einem sehr frühen Stadium gibt es nennenswerte Beiträge des Zusammenstoßens verschiedener Körner (``impingement''). Bei beträgt die Gesamtzahl der Cluster bereits weniger als 5% der Gesamtzahl der im System vorhandenen Körner, so daß hier bereits die Verknüpfung der einzelnen Keime im System weit fortgeschritten ist.
• Die Clustergrößenverteilung CSD wird durch einen exponentiellen Abfall dominiert, nach dem Beginn der Verklumpung verschiedener Körner bei . Der Wert der maximalen Korngröße im System ist aus der Clustergrößenverteilung eindeutig zu erkennen, er unterteilt die Cluster im System in zwei Typen, in den Bereich der ``kompakten'' Cluster und in den Bereich der ``porösen'' Cluster. Die ``porösen'' Cluster befolgen im Gegensatz zu den ``kompakten'' Cluster ein universelles Skalengesetz, ihre Größenverteilung befolgt ein Potenzgesetz mit einem kritischen Exponenten von ((Fisher(1967); Stauffer und Aharony(1992))).
• Cluster mit einem größeren mittleren Radius tendieren dazu, eine zunehmende Anzahl von Gebieten der alten Phase zu umschließen, was dazu führt, daß das sich mit dem Phasenübergang herausbildende Netzwerk der Produktphase immer zerbrechlicher wird (d.h. in immer geringerem Ausmaß zusammenhängend ist). Am Perkolationspunkt selbst ist der größte Cluster im System ein Fraktal, d.h. seine Dichte nimmt mit zunehmenden Radius ab.
• Die fraktale Dimension des größten Clusters am Perkolationspunkt wurde, in Übereinstimmung mit anderen Autoren (vgl. z.B. (Lorenz et al.(1993))), zu 2.5 bestimmt ((Riedel und Karato(1996b)), Fig. 10).

Die Evolution des größten Clusters aus -Keimen im System widerspiegelt auch nach dem Erreichen und Überschreiten des Perkolationspunktes interessante mikrostrukturelle Aspekte: Oberhalb des Perkolationspunktes wird der größte Cluster infolge der kontinuierlich weiterlaufenden Phasenumwandlung mit in zunehmendem Maß kompakter, d.h. er besitzt einen immer stärker ausgeprägten inneren Zusammenhalt. Eine genauere Analyse zeigt, daß er für x_3D>x_per homogen auf einer Längenskala oberhalb einer bestimmten sogenannten ``Kohärenzlänge '' wird, siehe (Riedel und Karato(1996b)), Fig. 10.

Die Bedeutung der in den Abschnitten 4.1 und 4.2 diskutierten Beziehungen bzw. mikrostrukturellen Eigenschaften liegt in ihrer Allgemeingültigkeit. An keiner Stelle wird ein spezieller physikalischer Wirkungsmechanismus bezüglich der Reaktionsraten I^V und Y angenommen, es werden lediglich räumliche Homogenität bzw. Isotropie sowie (mit Einschränkungen) zeitliche Konstanz vorausgesetzt. Die beschriebenen Eigenschaften sollten daher unabhängig von der physikalischen Natur der betrachteten Keimbildungs- und Wachstumsvorgänge gelten.

Potentielle Anwendungen aus geophysikalischer Sicht sind u.a. bei folgenden Problemstellungen gegeben:

• Transporteigenschaften bzw. Mikrogeometrie von Sedimentgesteinen (Permeabilität bzw. Porösität von Sedimenten in Verbindung mit einem strukturellen Phasenübergang, (Thompson et al.(1987); Thompson(1991)))
• Rißausbreitung in deformierten Gesteinen (Bruchentstehung infolge der Perkolation von Mikrorissen, (Zhang und Sanderson(1994))) - mit Einschränkungen nur, da hier ein stark anisotroper Wachstumsmechanismus vorliegt ((Dienes(1982)))
• Herausbildung von Teilschmelzen in Mantelgesteinen (Perkolation der Schmelzphase, (Kohlstedt und Zimmermann(1996))): Bereits wenige Prozent an Teilschmelze genügen, um eine drastische Änderung in der Viskosität hervorzurufen (bis zu einem Faktor 10), falls die Korngröße der Matrix einen kritischen Schwellenwert unterschreitet. Neben dem Wechsel des relevanten Deformationsmechanismus von Dislokations- zu Diffusionskriechen ((Kohlstedt und Zimmermann(1996))) bei feinkörnigem Ausgangsmaterial könnte dieser Viskositätssprung aber auch rein topologisch bedingt sein. Ein Ansatzpunkt dazu wäre im Rahmen des hier vorgestellten Modells mit einer Diskussion der relevanten Längenskalen im System gegeben (Korngröße vs. kinetische Avrami-Länge des Schmelzprozesses, die Perkolationsschwelle hängt wesentlich vom Verhältnis beider Längen im System ab), ein weiterer mit der Untersuchung des Kompaktierungsverhaltens des größten -Clusters oberhalb der Perkolationsschwelle, siehe obige Diskussion zur Existenz einer ``Kohärenzlänge ''.
• Mikrostrukturentwicklung bei strukturellen Phasenübergängen in der ``transition zone'' des Erdmantels (Korngrößenreduktion beim Olivin-Spinell Übergang in der subduzierenden Lithosphäre, (Riedel und Karato(1996a)))

Die letzte Problematik ist im Kapitel 6 dieser Arbeit ausführlich dargestellt.